위그너 함수

3. 정의

위그너 함수 ''P''(''x'', ''p'')는 파동함수 ''ψ''를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:$P(x,p)=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\backslash hbar\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash psi^*(x+y)\backslash psi(x-y)e^\{2ipy/\backslash hbar\}\backslash ,dy\backslash ,$

여기서 ''x''는 위치, ''p''는 운동량이다. 위치와 운동량 대신 다른 정준 켤레 변수를 사용할 수도 있다. 일반적인 경우 밀도 행렬 ''ρ''를 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$P(x,p)=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\backslash hbar\}\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash langle\; x-y|\; \backslash hat\{\backslash rho\}\; |x+y\; \backslash rangle\; e^\{2ipy/\backslash hbar\}\backslash ,dy\backslash ,$

위그너 함수는 위치와 운동량에 대해 대칭적인 형태를 가진다.

4. 수학적 특징

W^영어(x, p)는 실수 값을 갖는 함수이다.

''x''와 ''p''의 확률 분포는 다음 주변 분포로 주어진다.

• $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dp\backslash ,\; W(x,\; p)\; =\; \backslash langle\; x|\backslash hat\{\backslash rho\}|x\; \backslash rangle.$ 만약 시스템이 순수한 상태로 설명될 수 있다면, $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dp\backslash ,\; W(x,\; p)\; =\; |\backslash psi(x)|^2.$를 얻는다.
• $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dx\backslash ,\; W(x,\; p)\; =\; \backslash langle\; p|\backslash hat\{\backslash rho\}|p\; \backslash rangle.$ 만약 시스템이 순수한 상태로 설명될 수 있다면, $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; dx\backslash ,\; W(x,\; p)\; =\; |\backslash varphi(p)|^2.$를 갖는다.
• $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dx\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dp\backslash ,\; W(x,\; p)\; =\; \backslash operatorname\{Tr\}(\backslash hat\{\backslash rho\}).$ 일반적으로 밀도 행렬 ''$\backslash hat\{\backslash rho\}$''의 대각합은 1과 같다.

• 시간 대칭성: $\backslash psi(x)\; \backslash to\; \backslash psi(x)^*\; \backslash Rightarrow\; W(x,\; p)\; \backslash to\; W(x,\; -p).$
• 공간 대칭성: $\backslash psi(x)\; \backslash to\; \backslash psi(-x)\; \backslash Rightarrow\; W(x,\; p)\; \backslash to\; W(-x,\; -p).$

• $g(x,\; p)\; \backslash equiv\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dy\backslash ,\; \backslash left\backslash langle\; x\; -\; \backslash frac\{y\}\{2\}\; \backslash right|\; \backslash hat\{G\}\; \backslash left|\; x\; +\; \backslash frac\{y\}\{2\}\; \backslash right\backslash rangle\; e^\{ipy/\backslash hbar\},$
• $\backslash langle\; \backslash psi|\backslash hat\{G\}|\backslash psi\backslash rangle\; =\; \backslash operatorname\{Tr\}(\backslash hat\{\backslash rho\}\; \backslash hat\{G\})\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dx\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; dp\backslash ,\; W(x,\; p)\; g(x,\; p).$

5. 고전역학과의 관계

고전 입자는 위치와 운동량이 정해져 있으므로 위상 공간에서 점으로 표현된다. 입자들의 집합(통계적 앙상블)이 주어지면, 위상 공간의 특정 위치에서 입자를 발견할 확률은 확률 분포인 리우빌 밀도에 의해 지정된다. 그러나 이러한 엄격한 해석은 불확정성 원리로 인해 양자 입자에서는 적용되지 않는다. 대신, 유사 확률 위그너 분포가 유사한 역할을 하지만, 일반적인 확률 분포의 모든 속성을 만족하지는 않는다. 반대로, 고전 분포에서는 사용할 수 없는 경계 속성을 만족한다.^[14][15]

예를 들어, 위그너 분포는 고전 모델이 없는 상태에 대해 음수 값을 가질 수 있으며 일반적으로 그렇게 되며, 이는 양자 역학적 간섭의 편리한 지표이다. 보다 큰 크기의 필터(예: 위상 공간 가우시안과의 합성곱, 즉 바이어슈트라스 변환)를 통해 위그너 분포를 평활화하여 후스미 표현을 얻으면, 양의 반정부호 함수가 생성된다. 즉, 반고전적인 함수로 거칠게 만들어졌다고 생각할 수 있다.

그러한 음수 값 영역은 (작은 가우시안과 컨볼루션하여) "작다"는 것을 증명할 수 있다. 즉, 몇 개의 보다 큰 컴팩트 영역으로 확장될 수 없으며, 따라서 고전 극한에서 사라진다. 이러한 영역은 불확정성 원리에 의해 보호되는데, 이는 보다 작은 위상 공간 영역 내에서 정확한 위치를 허용하지 않으며, 따라서 그러한 "음의 확률"을 덜 역설적으로 만든다.

위그너 함수는 고전 극한을 연구할 수 있게 해주며, 위상 공간에서 고전 역학과 양자 역학의 비교를 제공한다.

최근, 위그너 함수법은 1932년에 버나드 쿱만과 존 폰 노이만에 의해 도입된, 고전 역학의 연산자 표기의 양자적 아날로지임이 시사되었다. 의 극한에서 위그너 함수의 시간 발전은 쿱만-폰 노이만 파동 함수의 시간 발전에 점근한다.^[16]

6. 모얄 진화 방정식

슈뢰딩거 묘사에서 위그너 함수는 폰 노이만 진화 방정식의 위그너 변환인 '''모얄 진화 방정식'''을 따른다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; W(x,\; p,\; t)\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; -\; \backslash \{\backslash \{W(x,\; p,\; t),\; H(x,\; p)\backslash \}\backslash \},$

여기서 $H(x,p)$는 해밀토니안이고 는 모얄 괄호이다. 고전적 극한($\backslash hbar\; \backslash rightarrow\; 0$)에서 모얄 괄호는 푸아송 괄호로 축소되고, 이 진화 방정식은 고전 통계 역학의 리우빌 방정식으로 축소된다.^[9]

모얄 진화 방정식은 특성 방정식법을 통해 풀 수 있는데, 이 방법에서 특성 방정식의 "궤적"은 양자 시스템으로 전송되어 위그너 함수의 진화를 결정한다. 위그너 함수에 대한 모얄 진화 방정식의 해는 다음과 같이 형식적으로 표현된다.

:$W(x,\; p,\; t)\; =\; W\backslash big(\backslash star\backslash big(x\_\{-t\}(x,\; p),\; p\_\{-t\}(x,\; p)\backslash big),\; 0\backslash big),$

여기서 $x\_t(x,\; p)$ 및 $p\_t(x,\; p)$는 초기 조건 $x\_\{t=0\}(x,\; p)\; =\; x$ 및 $p\_\{t=0\}(x,\; p)\; =\; p$를 갖는 양자 해밀턴 방정식의 대상인 특성 궤적이며, $\backslash star$-product 합성은 모든 인수 함수에 대해 이해된다.

함수의 $\backslash star$-합성이 ''완전히 비국소적''이므로 양자 시스템의 국소 궤적의 흔적은 위그너 분포 함수의 진화에서 거의 구별할 수 없다. $\backslash star$-곱의 적분 표현에서 이들의 연속적인 연산은 위그너 함수에 대한 진화 방정식을 풀기 위해 위상 공간 경로 적분에 적용되었다.^[10][11][12] 모얄 시간 진화의 이러한 비국소적 특징은 양자 조화 진동자보다 복잡한 해밀토니안의 경우 두드러지게 나타난다.

양자 조화 진동자의 경우, 시간 진화는 고전적인 운동과 동일하게 나타난다. 즉, 위상 공간에서 진동자 주파수에 의해 결정되는 강체 회전으로 나타난다.

7. 양자역학 이외의 활용

• 망원경이나 광섬유 통신 장치와 같은 광학 시스템 모델링에서 위그너 함수는 단순한 광선 추적과 시스템의 전체 파동 분석 사이의 격차를 해소하는 데 사용된다. 여기서 는 작은 각도(근축) 근사에서 로 대체된다. 이러한 맥락에서 위그너 함수는 간섭 효과를 포함하면서 위치 와 각도 의 광선으로 시스템을 설명하는 데 가장 가깝게 접근할 수 있는 것이다.^[25] 어느 지점에서든 음수가 되면 단순한 광선 추적으로는 시스템을 모델링하기에 충분하지 않다.
• 신호 분석에서 시간 변화 전기 신호, 기계적 진동 또는 음파는 위그너 함수로 표현된다. 여기서 는 시간으로 대체되고 는 각 주파수 로 대체되며, 여기서 는 정규 주파수이다.
• 초고속 광학에서 짧은 레이저 펄스는 위와 동일한 및 대체를 사용하여 위그너 함수로 특징지어진다. 짹짹거림 (시간에 따른 주파수 변화)과 같은 펄스 결함은 위그너 함수로 시각화할 수 있다.

• 양자 광학에서 및 는 전기장의 실수 및 허수 성분인 및 사각형으로 대체된다(결맞는 상태 참조).

8. 다른 유사확률분포와의 관계

위그너 함수는 최초로 공식화된 유사 확률 분포였지만, 이후에도 많은 유사 확률 분포가 등장했으며, 형식적으로 동일하고 위그너 함수로 변환이 가능하다(시간-주파수 분석의 분포 간 변환 참조). 좌표계의 경우와 마찬가지로, 다양한 특성 때문에 특정 응용 분야에 다양한 이점을 가진 여러 유사 확률 분포가 존재한다.

• 글라우버 P 표현
• 후스미 Q 표현

9. 한계점

이미 언급되었듯이, 양자 상태의 위그너 함수는 일반적으로 음수 값을 가진다. 실제로, 한 변수의 순수 상태에 대해 모든 $x$와 $p$에 대해 $W(x,\; p)\; \backslash ge\; 0$이면, 파동 함수는 다음과 같은 형태를 가져야 한다.^[19]

:$\backslash psi(x)\; =\; e^\{-ax^2+bx+c\}$

여기서 $a,\; b,\; c$는 $\backslash operatorname\{Re\}(a)\; >\; 0$인 복소수이다. 여기서 $a$는 복소수일 수 있다. 다시 말해, 이는 1차원 가우스 파동 묶음이다. 따라서 음수가 아닌 위그너 함수를 갖는 순수 상태는 하이젠베르크 불확정성 공식의 의미에서 반드시 최소 불확정성 상태는 아니다. 오히려 슈뢰딩거 불확정성 공식에서 등식을 만족하며, 이는 교환자 항 외에 반교환자 항을 포함한다.

더 높은 차원에서, 음수가 아닌 위그너 함수를 갖는 순수 상태의 특성은 유사하다. 파동 함수는 다음과 같은 형태를 가져야 한다.^[20]

:$\backslash psi(x)\; =\; e^\{-(x,Ax)+b\backslash cdot\; x+c\},$

여기서 $A$는 실수부가 양의 정부호인 대칭 복소 행렬이고, $b$는 복소 벡터이며, $c$는 복소수이다. 이러한 상태의 위그너 함수는 위상 공간에서의 가우스 분포이다.

소토와 클라베리는 세갈-바그만 변환을 사용하여 이러한 특성에 대한 증명을 제시했다.^[20] 그 이유는 다음과 같다. $\backslash psi$의 Husimi Q 함수는 $\backslash psi$의 세갈-바그만 변환의 제곱 크기에 가우시안을 곱하여 계산할 수 있다. 한편, Husimi Q 함수는 위그너 함수와 가우시안의 컨볼루션이다. 만약 $\backslash psi$의 위그너 함수가 위상 공간의 모든 곳에서 음수가 아니라면, Husimi Q 함수는 위상 공간의 모든 곳에서 엄격하게 양수가 될 것이다. 따라서 $\backslash psi$의 세갈-바그만 변환 $F(x\; +\; ip)$은 어느 곳에서도 0이 아닐 것이다. 복소 해석학에 의해 다음을 얻는다.

:$F(x\; +\; ip)\; =\; e^\{g(x+ip)\}$

여기서 $g$는 어떤 정칙 함수이다. $F$가 Segal–Bargmann 공간에 속하려면—즉, $F$가 가우시안 측도에 대해 제곱 적분 가능하려면—$g$는 무한대에서 최대 2차 성장을 가져야 한다. 이로부터 $g$가 실제로 2차 다항식이어야 함을 보일 수 있다. 따라서 위그너 함수가 음수가 아닌 순수 상태의 세갈-바그만 변환에 대한 명시적인 형태를 얻는다. 그런 다음 세갈-바그만 변환을 역변환하여 위치 파동 함수의 주장된 형태를 얻을 수 있다.

음수가 아닌 위그너 함수를 갖는 혼합 상태에 대한 간단한 특징은 없는 것으로 보인다.

참조

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